La funcion que queremos debe hacer algo como: y[n]=d x[n]/dn. Si tiramos del tiempo continuo y de las tecnicas de creacion de filtros para tiempo discreto podemos conseguir algo curioso.

Lo primero es conseguir el filtro de tiempo continuo: y(t)=d/dt [x(t)]. Su transformada de Fourier (usando las propiedades de la misma) se H(w)=jw. Como evidentemente, solo se pueden procesar señales de ancho de banda finito y vamos a dar el paso a tiempo discreto: H(Ω)=jΩ/T para |Ω|<π y siendo T el periodo de muestreo. Ahora tenemos una funcion de transferencia periodica y de periodo 2π, como mandan los canones del tiempo discreto. <br>

El penultimo paso es pasar del frecuencia a tiempo para obtener la h[n]. La respuesta al impulso de ese sistema es: h[n]=[n*pi*cos(n*pi)-sen(n*pi) ]/(pi*n*n*T) para todo n ( -inf <n < inf). Como se ve, es una funcion no causal , irrealizable tal y como esta escrita, y ademas infinita. Ademas, se puede simplificar a h[n]=cos(n*pi)/(n*T) para n!=0 y 0 en el resto de los casos.<br> Lo normal es usar la tipica solucion de desplazo/ventana y asi pasamos a tener una funcion causal y finita.

El libro de donde sale esto es el clasico de Oppenheim para tiempo discreto, por si alguien tiene curiosidad en darle un vistazo. Ofrece un ejemplo en el que mete un coseno, y el resultado es el -seno :).

Esto esta sacado del capitulo de procesado en tiempo discreto de señales de tiempo continuo, de ahi que salga a relucir el tiempo de muestreo. Posteriormente, en el capitulo de diseño de filtros tambien sale este ejemplo, con sus dibujitos de las funciones h[n] y H(Ω) para diferentes tipos de filtros FIR, concretamente FIR tipo III (h[n] antisimetrica y M par) y FIR tipo IV (h[n] antisimetrica y M impar. M+1 es la longitud del filtro).